NILAI SUKU BANYAK DAN TEOREMA SISA


1. Pengertian dan Nilai suku banyak

    a. Pengertian suku banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan

Dengan syarat: n ∈ bilangan cacah dan dan an, an– 1, … , a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak, a0 disebut suku tetap dan an ≠ 0.
Contoh:
1) 6x3 – 3x2 + 4x – 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3 adalah 6, koefisien x2 adalah –3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya –8.

    b. Nillai suku banyak
Suku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikut ini.

di mana n ∈ bilangan cacah dan an ≠ 0.
Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai suku
banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika nilai x diganti k, maka
nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak3 + bk2 + ck + d. Agar lebih
memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
a. f(x) = 2x3 + 4x2 – 18 untuk x = 3

Penyelesaian
a. f(x) = 2x3+ 4x2– 18
f(3) = 2 ⋅ 33 + 4⋅ 32 – 18
= 2⋅ 27 + 4⋅ 9 – 18
= 54 + 36 – 18
= 72
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.

2) Cara horner
Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k,
Disajikan dalam bentuk skema berikut :

Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
a. f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 4 untuk x = 5

Penyelesaian

2. Teorema faktor

Teorema Sisa 1
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear (x – k), kita dapat
menggunakan teorema sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

Dalam penerapanya kita dapat menggunakan cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. Untuk lebih memahami penggunaan teorema sisa 1 perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4 + x2  – 16 dibagi (x + 1)

Penyelesaian
f(x) = x4  + x2  -16
f(-1) = (-1)4  + (-1)2  – 16
        = 1 + 1 – 16
        = -14
Jadi, sisa pembagiannya adalah -14


Teorema Sisa 2
Teorema sisa 2 ini, menyangkut pembagian suku banyak dengan bentuk (ax + b) yaitu:
Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f(-b/a) Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema di atas, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 2
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak 2x3  + 7x2  – 5x + 4 dibagi (2x + 1)

Penyelesaian
f(x) = 2x3  + 7x2  – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3  + 7(-1/2)2  – 5(-1/2) + 4
            = (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
            = 8
Jadi, sisa pembagiannya adalah 8


Teorema Sisa 3
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.

Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 3
Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4  + x3  – 2x2  + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).

Penyelesaian
Bentuk x2  + x – 6 dapat difaktorkan menjadi
x2  + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4  + (-3)3  – 2(-3)2  + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)

f(b) = pb + q
(2)4  + (2)3  – 2(2)2  + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)

Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 29

Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai p dan q adalah dengan menggunakan rumus

Sebagai contoh, kita akan menggunakan contoh 3


Sehingga hasil yang didapatkan sama yaitu -3x + 29

Teorema Faktor
Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menentukan faktor linear.

Jika f(x) suatu banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar persamaan f(x) = 0

Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, silahkan perhatikan
contoh soal berikut.

Contoh 4
Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak  x3  + 4x2  + x – 6 = 0

Penyelesaian
Misalkan (x – k) merupakan faktor dari f(x) = x3  + 4x2  + x – 6 = 0, maka nilai k yang mungkin adalah faktor dari -6, yaitu 1, 2, 3 dan 6
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh

Karena sisanya 0, maka (x - 1) merupakan salah satu faktornya, dan faktor yang lain adalah hasil baginya, yaitu
x3  + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Jadi, faktor dari suku banyak x3  + 4x2  + x – 6 = 0 adalah
x3  + 4x2  + x – 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)
Dalam kasus tertentu, terkadang kita dapat menggunakan cara horner secara bertingkat dalam menentukkan faktor-faktor dari suatu suku banyak. Berikut ini adalah contoh soalnya


Keterangan :
Jika ada x3 menyatakan x pangkat 3. Misal ada xn-1 menyatakan x pangkat n-1.